赵红军--均衡之美

经济社会科学中的倒U型关系

赵红军

载于《经济学家茶座》2016(3):34-37

经济、社会科学研究的核心问题乃是探讨经济与社会变量之间的逻辑关联关系。比如，温度上升、水分增加是否会导致作物发芽？西红柿和水果的摄入量是否一定有助于身体健康？学习时间的延长是否一定能获得更好的学习效果？你对孩子投入更多的多到底是对他（她）更好，如此等等。

然而，这些变量之间关系的绝大多数情形均是非线性而不是线性的。在这当中，最值得经济和社会研究的学者们和学生们重视的当属我们所说的倒U型关系，它是一种最为经典也最为常见的非线性关系。

经济学家通过研究发现，一个家庭拥有的财富量与孩子教育质量之间的关系通常就不是线性的，而是倒U型的。表现是，在一定的范围内，家庭所拥有的财富越多，就越可能为孩子提供更好的教育条件和物质基础，但当家庭财富的数量超过一定限度时，过多的财富投入却并不一定还能提高孩子的教育质量了，相反，很可能会由于非常优越的物质条件而让孩子的教育质量变得更糟。

这个规律为中国社会中所说的“富不过三代”提供了一个经济学证明。其实，在英国、在美国等，也存在着完全类似的“富不过三代”的说法，并且这一关系也得到了大量实证数据的证明。

同样的例子，还出现在宏观、国际与发展经济学之中。著名的拉弗曲线表明，税率高低与税收收益之间存在着经典的倒U型关系；威廉姆森倒U型假说表明，随着经济发展，一开始城乡收入差距拉大，但随着时间延续，它会倾向于缩小。研究也表明，FDI的流入与一国经济发展、利率、汇率、关税税率与经济发展、对外开放与经济发展和社会稳定、教育投入与科技创新、交通效率与经济集聚等等之间均存在着类似的倒U型关系。

类似的是，心理学家也普遍发现，心理学领域几乎所有的关系都是倒U型的。比如，酒精摄入量与健康之间的关系、金钱与幸福的关系、子女数量与父母幸福的关系等等。

教育学家和劳动经济学家同样发现，班级规模与教学质量之间也呈现典型的倒U型关系。道理其实是很简单的，当班级规模太小，学生们相互之间缺乏学习和竞争效应，因而学习质量并不高，同样当班级规模太大，也不利于学习质量的提高，因此，必然存在着最优的班级规模问题。

还有，中小学、大学教师每周所上的课时数与教学质量之间也存在着这种倒U型关系，上课课时太少，操练机会太少，教学质量可能不好，随着操练课时的增加，教学质量就会增加，但每周所上的课太多，上课质量却开始下降。因此，也存在着最优的每周课时量问题。

经济学家日益发现，经济社会变量之间的倒U型关系意味着，经济和社会生活中的绝大多数变量之间的关系均存在着最优区间问题。比如，最优的税率、最优的货币区间、最优的周课时量、最优的每日饮酒量等等。因此，经济与社会科学中日益强调的模型和计量分析就显得非常必要。

首先，要尽可能运用准确的数量关系来捕捉和刻画变量之间的关系，毕竟定量比不定量要更加准确；

其次，在此基础上，还要考察X（Y）变量对Y（x）变量的影响程度是否存在以及影响程度大小，因为任何两个变量之间的关系不外乎不相关、相关两种情形。

通常而言，考察X（Y）变量对Y（X）影响的数学方法就是微分法，也就是所谓的求导或者偏导，其直观的涵义就是考察当这个变量变化时，它对另外一个变量影响的边际变化程度。再下来就是考察求导后的式子何时为零、何时为正、何时为负。这样，通过偏导等于零就必然能找到二者关系究竟是相关、不相关，是线性还是非线性关系。因为导数等于零必然对应于极大值或极小值，而偏导为正（负）则对应于正（负）向关联关系。

举个非常简单的例子。已知一家工厂的产量方程由给出，其中L为工厂投入的劳动量。为了更好地分析劳动投入与总产量之间的关系，我们首先要对总产量函数求一阶导数，于是有，令即可得到两个根一个是L=9,一个是L=-1，后者为负，不符合实际，所以舍去。另外，，这样，我们就知道，TP在L=9时达到最大值，在此之前，TP上升，而在此之后TP下降。

从计量经济学角度来看，如果我们要检验一对数据之间的关系，首要的方法就是画出散点图来判断变量之间的关系。如果散点图显示变量的关系是线性的，就只能运用线性方程来回归，反之就只能运用非线性方程来回归。值得注意的是，如果变量关系是非线性的，则还要判断到底是二次非线性，还是三次非线性。

比如，在Zhao（2016）有关美洲白银与清代粮价关系的研究中，我们发现二者的关系就呈现倒U型关系而非线性关系。图1给出了1736-1911年华北地区22个府的银铜比价与高粱价格散点图。由该图可见，二者的关系属于典型的倒U型关系。但我们还不能确定到底是倒U型的还是比倒U型更加高次的三次函数。鉴于此，我们分别使用线性、二次和三次函数分别对二者的关系进行回归，由于其他的变量我们暂不考虑，所以选择固定效应来回归，结果见表1所示。

   从该回归结果的相互比较来看，线性回归的效果相对而言较差，因为它没有考虑二次项的影响，且其回归的解释力较低，而模型2证明放入二次项是合理的，一次项、二次项系数在1%的水平上均是显著的，且模型的解释力比线性模型提升很多。三次函数的拟合结果仅比倒U型解释力稍好一些，但考虑到一次项和二次项的系数与其他两个模型完全相反，且散点图清晰显示的情形为倒U型，因此综合考虑之后，我们认为二者之间的倒U型关系更加合理和稳健一些，即银铜比价在初期倾向于提升高粱价格，而在后期倾向于降低高粱价格。

经济社会科学中的倒U型关系告诉我们，在考察人类社会最为复杂的经济与社会现象时，切忌不能用线性思维进行经济推理，并给出相应的政策建议，相反，只有在准确、定性与定量研究结合的基础上，才能给出相对准确的结论与相应的政策建议。一句话，我相信，“没有调查，就没有发言权”。对经济与社会科学而言，这句话显得尤为重要。